¿COMO FUNCIONA LA ESTADISTICA?

Tema 2 ¿COMO FUNCIONA LA ESTADISTICA?

En este tema veremos que la estadística consta de tres partes y discutiremos con algún detalle el funcionamiento de cada una. También daremos algunas definiciones fundamentales.
Recordemos que en el primer tema vimos que la estadística es una herramienta que nos ayuda en las siguientes etapas:
1) la planeación de la búsqueda y la obtención de la información
2) la sistematización y la organización de la información, para describirla y analizarla con facili¬dad
3) la inferencia sobre la realidad a partir de la información obtenida, mediante estimaciones y contrastación de hipótesis.
Para cada una de estas etapas existe una parte de la estadística que proporciona los métodos que ayudan a resolver los problemas correspondientes. Con el fin de aclarar en qué consisten estas tres partes, introduciremos dos conceptos fundamentales en estadística: el de población y el de muestra.
En el lenguaje cotidiano la palabra "población" designa a un conjunto de personas. El concepto estadístico de población está ligado históricamente a este sentido de la palabra, pero se ha pasado por varias etapas de abstracción para llegar a la definición actual de población estadística.
Por una parte, no sólo se estudian conjuntos de personas, sino que se pueden considerar también conjuntos de objetos o de entidades. Por ejemplo, nos puede interesar hacer un estudio para evaluar un conjunto de libros de texto.
Por otra parte, un mismo conjunto de personas, objetos o entidades puede ser estudiado desde va¬rios puntos de vista, y es posible medir en ellos características distintas. Así, para evaluar un conjunto de libros de texto nos pueden interesar las características "grado de relación entre los ejemplos y el contenido de cada libro", "grado de amenidad de cada libro", "adecuación del formato al uso de cada libro", etc. Es necesario, pues, aclarar a cuál o cuáles de las posibles características nos estamos refi-riendo cada vez. Como dijimos anteriormente, expresamos la medición de cada característica a través de una variable: es entonces la variable asociada a cada característica lo que nos permitirá definir el concepto de población estadística.
Si una variable está asociada a una característica, entonces llamamos población a la colección de los valores que toma la variable, es decir a la colección de los resultados de las mediciones en todos los individuos, objetos o entidades en los que interese medir la característica.
Veamos un ejemplo: supongamos que nos interesa conocer la característica "número de hijos de los alumnos de la UPN". La población asociada a la variable número de hijos es la colección de valores que se obtiene al ver cuántos hijos tiene cada uno de los alumnos de la UPN. Así, si el alumno José Do-mínguez tiene ocho hijos (o sea que el resultado de la medición en José Domínguez es 8), y el alumno Arturo López tiene también ocho hijos, aparecerá el número 8 cuando menos dos veces en la población.
Es pertinente hacer algunas observaciones sobre el concepto de población:
1) Una población comprende tantas repeticiones de un mismo valor como individuos, objetos o entidades lo tengan asociado en la medición.
2) Cuando se habla de una población, es necesario aclarar cuál es el conjunto de personas, ob-jetos o entidades en los que interesa medir la característica. Por ejemplo, consideremos la característica "estatura": las poblaciones asociadas a esta característica serán colecciones de valores como 1.58, 1.61, 1.53, etc. Y son muchas las poblaciones asociadas a la estatura: el conjunto de todos los mexicanos da origen a una población estadística, mientras que el conjunto de los mexicanos hombres da origen a otra y el conjunto de los mexicanos hom¬bres mayores de 30 años da origen a otra población estadística más, distinta de las anteriores.
3) Cuando es claro cuál es la característica de la que se está tratando, suele hablarse de pobla¬ción como del conjunto de individuos, objetos o entidades en los que interesa medir dicha característica. Así, la expresión "población económicamente activa" en el artículo citado en el Tema 1 se refiere a un conjunto de 23 millones de personas en los que interesa medir la característica "nivel de empleo".
4) Es común que en el estudio de un fenómeno interese medir más de una característica en un mismo conjunto de personas, objetos o entidades, o sea que se tengan los valores de más de una variable. En estos casos, la población es la colección de todas las combinaciones que se pueden formar con un valor de cada variable. Por ejemplo, si en el estudio sobre el fenóme¬no del desempleo en Francia se hubiera considerado también el sexo de los integrantes de la "población económicamente activa", la población estadística estaría formada por una suce¬sión de las siguientes combinaciones de valores: "hombre desempleado", "mujer desemplea¬da", "hombre empleado" y "mujer empleada".
La información que nos interesa conocer para el manejo estadístico de un problema está conteni¬da en la población, puesto que la población incluye todos los valores que toma la variable en el conjun¬to de individuos, objetos o entidades sobre los que queremos obtener conclusiones. Este conjunto puede ser tan grande como el formado por todos los habitantes de un país (o aún más grande), y tan pequeño como el formado por los alumnos de un grupo escolar (o aún más pequeño). Por ello, la ob¬tención de los datos correspondientes a todos los individuos, objetos o entidades puede ser un proceso más o menos difícil y costoso: un censo, por ejemplo, significa un esfuerzo que ningún país puede ha¬cer con mucha frecuencia. Cuando este proceso de recopilación de la información es difícil o costoso, o cuando es imposible, resulta conveniente seleccionar algunos de los individuos, objetos o entidades y medir en ellos la característica de interés: obtenemos así sólo algunos de los datos que conforman la población, es decir, una muestra de la población, que nos puede dar una idea de los datos de toda la población:
Una muestra es una subcolección de una población, constituida por los valores que toma la varia¬ble en algunos de los individuos, objetos o entidades en los que interesa medir la característica.
Por ejemplo, supongamos que nos interesa conocer la distancia que recorre cada niño del país pa¬ra ir de su casa a la escuela. La población asociada a esta variable es muy difícil de obtener: tendríamos que recorrer todo el país para preguntar a cada niño cuántos kilómetros hay entre su casa y la escuela
a la que asiste. Podemos entonces seleccionar a algunos niños y preguntarles sólo a ellos: la muestra ob¬tenida es una colección de valores como 10.5, 1, 3.7, etc. Si los niños son seleccionados adecuadamen¬te, la muestra nos puede dar una idea de los datos de toda la población.

El concepto de muestra es tan importante en estadística como el de población. Las siguientes observa-ciones son importantes:
1) Una muestra incluye, como una población, tantas repeticiones de un mismo valor de la variable como individuos, objetos o entidades seleccionados lo tengan asociado en la medi¬ción.
2) Cuando se habla de una muestra, es necesario aclarar de qué población es subcolección, es decir, de qué población fue extraída.
3) Es frecuente que se hable de una muestra como del subconjunto de individuos, objetos o en-tidades en los que se mide la característica. En el ejemplo sobre la distancia que recorre cada niño para ir de su casa a la escuela, la muestra obtenida es una colección de números, pero podemos también referirnos a los niños a quienes preguntamos qué distancia hay entre su ca¬sa y la escuela diciendo que es la muestra de niños.
4) Cuando en el estudio de un fenómeno se consideran dos o más características, una muestra es, como la población de la que proviene, una colección de combinaciones de los valores que toman las variables.
5) El número de datos que conforman una muestra se llama tamaño de la muestra y se simboli¬za en general por la letra n.
6) Aunque, por definición, cualquier subcolección de la población es una muestra, no cualquier muestra es adecuada para fines estadísticos: es necesario que la muestra con la que se trabaja reproduzca, en la medida de lo posible, los rasgos generales de la población. Supongamos por ejemplo que en el estudio de la característica "distancia entre la casa y la escuela" considera¬mos una muestra que incluya únicamente niños de las colonias proletarias de las ciudades del país: esta muestra nos conduciría sin duda a grandes errores en la apreciación de los valores de la población, puesto que no quedarían representados otros grupos como los pertenecien¬tes a niños de regiones desérticas. Llegaríamos a menos errores con una muestra elegida de tal manera que sea muy probable que ésta represente a toda la población. Nos referiremos a estas muestras con el nombre de muestras representativas.


ACTIVIDAD DE ESTUDIO 2.1 Una institución educativa desea hacer una investigación sobre el nivel que alcanzan en México los alumnos de cuarto grado de primaria en las operaciones con fracciones. Para ello, diseña un examen que se califica con números enteros del cero al diez, y que debe ser resuelto por niños que están terminando el cuarto grado.

a) Indique cuál es la característica de interés y cuál la variable con la que se va a expresar su medición.
b) Describa la población estadística.
c) A continuación se señalan cuatro criterios de selección de alumnos de cuarto grado. Describa las muestras correspondientes a cada uno, e indique cuál de ellas es la más representativa de la pobla¬ción y por qué.
i) se selecciona a todos los niños del norte del país.
ii) se selecciona a todos los niños de escuelas particulares del país.
iii) se selecciona por sorteo a un niño de cada escuela del país.
iv) se selecciona al mejor alumno de cada grupo de las escuelas del país.


Los conceptos de población y de muestra nos permiten considerar nuevamente las tres partes de la estadística que hemos mencionado:

La primera es la que consiste en la planeación de la búsqueda y la obtención de la información; en particular, esta parte incluye métodos que permiten diseñar un esquema para la selección de una muestra representativa de la población.


Otra parte de la estadística es la que se encarga de sistematizar y organizar la información conte¬nida en una muestra o en una población, es decir los valores de la variable. Esta parte incluye métodos que permiten describir y analizar la información.
La tercera parte que hemos mencionado comprende métodos estadísticos que permiten inferir, a partir de la información contenida en una muestra, cuáles pueden ser los rasgos principales de los valo¬res de la población de la que proviene la muestra.
La primera de estas tres partes está estrechamente ligada a las otras dos, ya que el buen éxito de éstas depende de una planeación adecuada. El esquema de búsqueda y obtención de la información de¬be permitir que se realicen, en los términos deseados, tanto la sistematización como las inferencias planteadas. Para aclarar esto, hablaremos primero de las dos últimas partes, y finalizaremos el tema con algunas consideraciones sobre la primera.
La parte de la estadística que proporciona los métodos para sistematizar y describir la informa¬ción contenida en una muestra o en una población recibe el nombre de estadística descriptiva. Los métodos de la estadística descriptiva permiten resumir los aspectos principales de los valores de una muestra o de una población, tanto gráfica como numéricamente. Cuando el fenómeno bajo estudio involucra dos o más variables, algunos métodos de la estadística descriptiva permiten saber de qué tipo y de qué magnitud es la relación entre ellas .
La parte de la estadística que permite inferir los rasgos principales de los valores de poblaciones, a partir de los valores de muestras extraídas de ellas, se llama estadística inferencial. Ciertos métodos de la estadística inferencial permiten obtener estimaciones de algunos valores de interés de una población (por ejemplo, con los datos de una muestra se puede obtener una aproximación o estimación del pro¬medio de todos los valores de la población). Otros métodos de la estadística inferencial permiten contrastar hipótesis; es decir, dada una conjetura que se plantea sobre una o más poblaciones, permiten ver si la información contenida en la o las muestras es compatible o no con la conjetura. Por ejemplo, se puede plantear la hipótesis de que los promedios de las estaturas de dos poblaciones (digamos una de hombres y otra de mujeres) son distintos; entonces, la estadística inferencia¡ permite decir, mediante la comparación de los promedios obtenidos con los datos de las muestras, si la información obtenida co-rrobora o contradice la hipótesis.
Vale la pena que nos detengamos a hacer algunas consideraciones sobre la estadística inferencial. Cuando hacemos inferencias sobre la población a partir de la información contenida en una mues¬tra extraída de la población, estamos obteniendo ciertas conclusiones sobre la realidad, a pesar de que sólo conocemos una porción de ella. Como dijimos anteriormente, el proceso de selección de los indivi-duos, objetos o entidades que se estudiarán debe estar bien diseñado, para que la muestra sea represen¬tativa de la población. Pero por muy representativa de la población que sea la muestra, no deja de ser una subcolección de la población, una de las muchas muestras posibles que son igualmente representa¬tivas. Es probable que si se hubiera obtenido otra muestra, los valores de ésta habrían sido distintos. Si ambas muestras son representativas de la población, los valores de cada una nos dan una idea acerca de los valores de la población, pero no nos informan totalmente acerca de ellos.

Nuestro punto de partida es, en general, una incertidumbre casi total sobre la población que nos interesa. Una muestra de ella nos permite obtener un cierto grado de certeza sobre algunos de sus as-pectos, pero la certeza no podrá ser nunca total (a menos, desde luego, que la muestra fuera toda la po-blación). Esto es, la confianza que tengamos al hacer afirmaciones sobre la población no podrá ser nun-ca total, puesto que habrá siempre un margen de incertidumbre sobre la población. Esto implica que al hacer inferencias sobre la población hay un riesgo de cometer algún error.
Cuando se tiene una muestra representativa de una población, los métodos de la estadística infe¬rencial permiten hacer ciertas afirmaciones acerca de la población con la máxima confianza posible, es decir con el mínimo riesgo posible de cometer error. La probabilidad ocupa un lugar importante en es¬te proceso, ya que aporta un lenguaje que permite expresar en forma cuantificable tanto la confianza que podemos tener en una inferencia estadística como el riesgo de cometer un error en esa inferencia. Supongamos que la inferencia que se desea hacer es una estimación del valor del promedio de la población formada por los tiempos que requieren para resolver cierto examen los alumnos de secunda-ria, a partir de una muestra representativa de la población. Entonces, los métodos estadísticos de infe-rencia proporcionarán la estimación deseada en términos parecidos a los siguientes: "con 95 % de confianza, se puede afirmar que el promedio de la población está entre 80 y 100 minutos". Observe que en la vida cotidiana hacemos con frecuencia inferencias parecidas: en este caso diríamos tal vez al¬go como "creo que el promedio es de 90 minutos aproximadamente". Lo que permiten los métodos estadísticos es precisar las expresiones "creo que" y "alrededor de". Observe también que ambas estimaciones están expresadas con la cautela con la que por fuerza nos movemos cuando estamos en un ámbito de incertidumbre. Sin embargo, la estimación estadística proporciona mucha más información: nos dice con qué confianza podemos hacer la afirmación y entre cuáles dos valores puede estar el pro¬medio de la población.
Hemos señalado que la estadística inferencial hace posible no sólo hacer estimaciones sino tam¬bién probar hipótesis. Esto significa poner a prueba conjeturas que se hacen acerca del fenómeno bajo estudio, es decir contrastar los hechos que se deducen de ellas con los hechos observados. Los métodos estadísticos de prueba de hipótesis permiten decidir si la información contenida en una muestra con¬tradice o corrobora una hipótesis planteada sobre la población.
Para aclarar este punto veamos un ejemplo: supongamos que se plantea la hipótesis de que cierto método nuevo de enseñanza de la notación musical es más efectivo en cierta población de alumnos que el utilizado tradicionalmente, y que se argumenta esto diciendo que el tiempo promedio que tardan los alumnos en aprender los elementos básicos del uso del pentagrama y las notas es menor con el método nuevo que el que tardaban con el tradicional. Para probar la hipótesis, se toman dos muestras represen-tativas; a una se le enseña la notación musical con el método nuevo (muestra N), y a la otra con el mé-todo tradicional (muestra T). Si el tiempo promedio requerido por los alumnos de la muestra N para aprender el tema es mayor o igual que el requerido por los alumnos de la muestra T, resulta obvio que la información contenida en las muestras contradice la hipótesis planteada, y por lo tanto no se puede afirmar que el nuevo método sea más efectivo que el tradicional. Por otra parte, si el tiempo promedio es mucho menor en la muestra N que en la muestra T, la información contenida en las muestras corro-bora la hipótesis planteada. Los métodos estadísticos de inferencia permiten decidir, en términos pro-babilísticos, si la información contenida en las muestras corrobora la hipótesis en grado suficiente para considerar, con cierta confianza, que los alumnos requieren en promedio un tiempo menor con el mé-todo nuevo que con el tradicional.

Así, la estadística inferencial posibilita el hacer inferencias sobre la población a partir de la infor¬mación contenida en la muestra, mediante estimaciones de los valores de la población o mediante la prueba de hipótesis planteadas acerca de la población.
Recapitulemos brevemente: los métodos de la estadística descriptiva permiten ordenar la infor¬mación contenida en una muestra (o una población) y resumir sus aspectos principales, y los de la esta¬dística inferencial permiten inferir ciertas características de la población a partir de la información contenida en una muestra extraída de ella.
Por último, haremos algunas consideraciones sobre la primera parte de la estadística, que consiste, como ya lo hemos señalado, en la planeación de la búsqueda y la obtención de la información. La ex-posición general que hemos hecho sobre la estadística descriptiva y la estadística inferencial hace patente la necesidad de que la muestra sobre la que se hace el estudio sea representativa de la población sobre la que interesa obtener conclusiones. Esto sólo puede garantizarse mediante una adecuada pla¬neación.
La estadística contiene dos ramas que auxilian en esta planeación: el muestreo y el diseño experi-mental.
El muestreo aporta métodos que permiten diseñar un esquema de la recolección de la informa¬ción, es decir que permiten diseñar un proceso adecuado para obtener una muestra de la población de interés que sea representativa de ella y de la que se obtenga la máxima información con el mínimo ta¬maño de muestra o con el mínimo costo. El muestreo adquiere particular importancia cuando los obje¬tivos del estudio incluyen inferencias sobre la población. Si una muestra no es representativa de la población de la que fue extraída, se corre un riesgo muy grande de cometer errores en las inferencias. El muestreo también indica qué tamaño debe tener la muestra para poder hacer las inferencias con la confiabilidad deseada: una muestra demasiado pequeña no nos daría mucha información acerca de la población, ya que tendría pocas oportunidades de reproducir toda la variabilidad de la población.
El diseño experimental, por otra parte, permite planear experimentos en forma óptima y toman¬do en cuenta las condiciones reales en que se efectuarán los experimentos, condiciones que suelen im¬poner restricciones de tiempo, de espacio, de recursos, de ética, etc. Por ejemplo, supongamos que tres profesores de español de una secundaria desean hacer una investigación para determinar qué libro de texto de español es el más adecuado para el tipo de alumnos de la escuela. Para ello, deciden que en una primera etapa analizarán tres textos distintos en los seis grupos de primer grado que les toca aten-der. Entonces, el diseño experimental indicará, dadas las condiciones reales, cómo se puede efectuar la investigación, de tal modo que se eviten errores. Un error consistiría, por ejemplo, en que cada texto sólo fuera utilizado por un profesor: un diseño así no permitiría ver si las eventuales diferencias detec-tadas se deben a una diferencia entre los textos o a una diferencia entre los profesores.
Es claro que cuando se desea hacer una investigación que involucrará tratamiento estadístico de la información, debe planearse con cuidado cómo se va a recolectar ésta. Es frecuente que al hablar de es¬tadística se enfatice la importancia de los niveles descriptivo e inferencial de la disciplina, pero es un error pasar por alto la importancia de la etapa de planeación. ¡Cuántas fallas podrían remediarse si se recordara siempre que la estadística empieza antes de la obtención de datos!